ОТНОШЕНИЯ

Что такое отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением эквивалентности (англ. equivalence binary relation), если оно обладает следующими свойствами:

  • Рефлексивность: [math]\forall x \in X: xRx[/math] .
  • Симметричность: [math]\forall x, y \in X:[/math] если [math]xRy[/math] , то [math]yRx[/math] .
  • Транзитивность: [math]\forall x, y, z \in X:[/math] если [math]xRy[/math] и [math]yRz[/math] , то [math]xRz[/math] .

Отношение эквивалентности обозначают символом [math]\thicksim[/math] . Запись вида [math]a \thicksim b[/math] читают как » [math]a[/math] эквивалентно [math]b[/math] «

Содержание

Примеры отношений эквивалентности [ править ]

  • Отношение равенства( [math]=[/math] ) является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве.
  • Отношение равенства по модулю [math]k[/math] : [math]a \equiv b \mod k [/math] на множестве целых чисел.
  • Отношение параллельности прямых на плоскости.
  • Отношение подобия фигур на плоскости.
  • Отношение равносильности на множестве уравнений.
  • Отношение связности вершин в графе.
  • Отношение быть одного роста на множестве людей.

Следующие отношения не являются отношениями эквивалентности:

  • Отношения порядка, так как они не являются симметричными.
  • Отношение быть знакомым на множестве людей, так как оно не транзитивное.

Классы эквивалентности [ править ]

Определение:
Система непустых подмножеств [math]\[/math] множества [math]M[/math] называется разбиением (англ. partition) данного множества, если:

  • [math]M = M_1 \cup M_2 \cup \ldots \cup M_n \cup \ldots[/math]
  • [math]M_i \cap M_j = \varnothing[/math] при [math]i \neq j[/math] .

Множества [math]M_1, M_2, \ldots, M_n, \ldots[/math] называются классами данного разбиения.

Примерами разбиений являются:

  • Разбиение многоугольников на группы по числу вершин.
  • Разбиение треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные).
  • Разбиение учащихся школы по классам.

Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое фактор-множеством, или факторизацией множества [math]M[/math] по отношению [math]\thicksim[/math] , и обозначаемое [math]M/^<\thicksim>[/math] .

Примеры [ править ]

  • Равенство — классический пример отношения эквивалентности на любом множестве, в т. ч. вещественных чисел
  • Равенство по модулю: [math] a \equiv b

m) [/math]

  • В Евклидовой геометрии:
    • отношение подобия [math] («\thicksim «) [/math]
    • отношение параллельности [math]\colon

    («\parallel «) [/math] отношение конгруэнтности [math]\colon

    («\cong «) [/math]

  • Разбиение многоугольников по количеству вершин
  • Отношение равносильности на множестве уравнений
  • Отношение равномощности множеств
  • Отношение принадлежать к одному виду на множестве животных
  • Отношение жить в одном городе на множестве людей
  • Источник

    MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

    Классы эквивалентных элементов и их свойства

    Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%a%% — некоторый элемент из %%M%%. Рассмотрим множество всех элементов из %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%.

    Классом эквивалентности %%M_a%%

    называется множество всех элементов %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%, то есть множество

    Пример

    Пусть %%M%% — множество всех жителей России и %%R%% — отношение эквивалентности «проживать в одном городе». Найти классы эквивалентных элементов %%M_a%% для %%a \in M%%.

    Класс элементов, эквивалентных элементу %%a%%, имеет вид: $$ M_a = \ a\> $$

    В зависимости от элемента %%a%% получаем несколько классов эквивалентности. Например, класс эквивалентности жителей Москвы или Санкт-Петербурга.

    Свойства классов эквивалентности

    Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%M_a, M_b, \dotsc, M_z, \dotsc%% — все классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда эти классы имеют следующие свойства.

    Свойство 1

    Для любого элемента %%a \in M%% выполняется условие $$ a \in M_a $$

    Действительно, по определению, класс %%M_a = \

    a\>%%. Тогда для элемента %%a%% должно выполняться условие %%a \in M_a \leftrightarrow a

    a%%, которое выполняется в связи с тем, что отношение %%R%% рефлексивно по определению отношения эквивалентности. Следовательно, %%a \in M_a%%.

    Как следствие этого свойства можно сказать, что всякий класс %%M_a%% является непустым множеством.

    Свойство 2

    Пусть %%M_a%% и %%M_b%% классы эквивалентности для отношения %%R%%. Классы %%M_a%% и %%M_b%% равны тогда и только тогда, когда элемент %%a%% находится в отношении %%R%% к элементу %%b%%. $$ M_a = M_b \leftrightarrow a

    Свойство 3

    Пусть %%M_a%% и %%M_b%% классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда классы %%M_a%% и %%M_b%% не имеют общих элементов. $$ M_a \neq M_b \rightarrow M_a \cap M_b = \varnothing $$

    Свойство 4

    Объединение всех классов эквивалентности множества %%M%% равно множеству %%M%%. $$ \bigcup_ = M. $$

    Разбиение множества

    Совокупностью подмножеств %%M_i%%, где %%i \in I%% (множеству индексов), множества %%M%% называется разбиением множества %%M%% если выполняются следующие условия:

    1. Каждое из подмножеств %%M_i%% непусто.
    2. Объединение всех подмножеств %%M_i%% равно множеству %%M%%.
    3. Два различных подмножества %%M_i%% и %%M_j%%, где %%i \neq j%%, не имеют общих элементов.

    Теорема. Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%%. Тогда совокупность классов эквивалентности множества %%M%% образует его разбиение.

    Действительно, если в качестве подмножеств %%M_i%% взять классы эквивалентности %%M_a%%, то все три условия выполняются:

    1. Каждый класс эквивалентности является непустым множеством, согласно свойству 1.
    2. Объединение всех классов эквивалентности есть множество %%M%%, согласно свойству 4.
    3. Два различных класса эквивалентности не имеют общих элементов, согласно свойству 3.

    Все условия определения разбиения выполнены. Следовательно классы эквивалентности есть разбиение множества %%M%%.

    Примеры

    Пусть дано множество %%M = \<1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \>%%, тогда разбиением этого множества могут быть следующие совокупности множеств:

    Но следующие совокупности не являются разбиением:

    Совокупность множеств %%C_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 3 разбиения множеств: множества %%C_1%% и %%C_3%% имеют общий элемент %%3%%.

    Совокупность множеств %%D_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 1 разбиения множеств: множество %%D_4%% пусто.

    Совокупность множеств %%E_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 2 разбиения множеств: объединение множеств %%E_1, E_2%% и %%E_3%% не образует множество %%M%%.

    Источник

    Отношения эквивалентности на множестве

    Разбиение множества

    Пусть — произвольное множество. Семейство непустых и попарно не пересекающихся множеств называют разбиением множества , если объединение множеств семейства равно , то есть

    Сами множества называют элементами (или членами) разбиения .

    Например, множества и образуют разбиение отрезка . Тривиальными разбиениями являются, по определению, разбиение , состоящее только из самого , и разбиение, состоящее из всех одноэлементных подмножеств множества .

    Пусть — эквивалентность на множестве и . Множество всех элементов , эквивалентных , т.е. множество , называют классом эквивалентности по отношению и обозначают . Отметим, что в силу рефлексивности для любого элемента класс эквивалентности не пуст, так как .

    Теорема 1.4. Для любого отношения эквивалентности на множестве множество классов эквивалентности образует разбиение множества . Обратно, любое разбиение множества задает на нем отношение эквивалентности, для которого классы эквивалентности совпадают с элементами разбиения.

    Покажем, что отношение эквивалентности на множестве определяет некоторое разбиение этого множества. Убедимся вначале, что любые два класса эквивалентности по отношению либо не пересекаются, либо совпадают.

    Пусть два класса эквивалентности и имеют общий элемент . Тогда и . В силу симметричности отношения имеем , и тогда и . В силу транзитивности отношения получим . Пусть , тогда . Так как , то и, следовательно, .

    Обратно, если , то в силу симметричности получим и в силу транзитивности — , то есть . Таким образом, .

    Итак, любые два не совпадающих класса эквивалентности не пересекаются. Так как для любого справедливо (поскольку ), т.е. каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности по отношению , то множество всех классов эквивалентности по отношению образует разбиение исходного множества . Таким образом, любое отношение эквивалентности однозначно определяет некоторое разбиение.

    Теперь пусть — некоторое разбиение множества . Рассмотрим отношение , такое, что имеет место тогда и только тогда, когда и принадлежат одному и тому же элементу данного разбиения:

    Очевидно, что введенное отношение рефлексивно и симметрично. Если для любых и имеет место и , то и в силу определения отношения принадлежат одному и тому же элементу разбиения. Следовательно, и отношение транзитивно. Таким образом, — эквивалентность на .

    Фактор-множество

    Теорема 1.4 позволяет отождествлять отношения эквивалентности и разбиения: любая эквивалентность определяет единственное разбиение и наоборот.

    Множество всех классов эквивалентности по данному отношению эквивалентности на множестве называют фактор-множеством множества по отношению и обозначают .

    Пример 1.14. а. На множестве целых чисел определим отношение равенства по модулю , где . Положим , если и только если делится на .

    Легко проверяется, что это отношение эквивалентности. Действительно, рефлексивность следует из того, что для любо и делится на ; симметричность — из того, что если делится на , то и делится на . Для доказательства транзитивности заметим, что если делится на и делится на , то и их сумма делится на . Другими словами, для любых целых из и следует , что доказывает транзитивность отношения .

    Равенство чисел и по модулю означает, что при делении на эти числа дают одинаковые остатки. Действительно, для каждого имеем , где — остаток от деления на . Следовательно, , то есть . Таким образом, каждое число попадает в тот же класс эквивалентности по отношению , что и остаток от деления его на . Поскольку всего различных остатков может быть ровно , получаем ровно попарно различных классов эквивалентности по данному отношению:

    где класс состоит из всех целых чисел, дающих при делении на остаток .

    Отметим, что мы установили взаимно однозначное соответствие между фактор-множеством и множеством , состоящим из чисел .

    Второе множество дает нам как бы wнаглядный образ» построенного фактор-множества. Нельзя считать, что фактор-множество равно множеству . Нет, указанное фактор-множество состоит из элементов, каждый из которых есть не число, а множество всех целых чисел, при делении на дающих фиксированный остаток. Но каждому такому классу эквивалентности однозначно сопоставляется целое число от 0 до , и, наоборот, каждому целому числу от 0 до соответствует единственный класс эквивалентности по отношению . Заметим, что в математике часто используется прием сопоставления фактор-множеству такого находящегося с ним во взаимно однозначном соответствии множества, которое легко представить и описать.

    б. На множестве действительных чисел зададим отношение , полагая, что числа и равны по модулю 1 тогда и только тогда, когда число является целым. Из определения следует, что каждое число по модулю 1 равно своей дробной части.

    Примечание. Под дробной частью числа понимается число из полуинтервала , такое, что для некоторого целого . Поэтому дробной частью отрицательного числа , где 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC8AAAAQCAMAAACx1dbmAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA8FGBQWahAcAh4NARsTGRMv0AhAAAAM9JREFUKM+1kttyhiAMhDmEHAAl7/+0Tfg7VcSL9qLOOCNhE/dbCOGfHoKT/iBPcYx6/loumkIosb9snUP2Ika3pONtFjBuHZVdX9tEEOTc4d5xMCxwpGxrYvVqicXeuvrFpQN0zp96idm+9XgSYi206gOrJXSoeKHsmeSWnvpu1hwi655tv/T98gMzJI60+WmXH4qT1yFBv+03WnnTvfv45I/2K8dFzXIDBnzkaVMt7+KkIdXREjaW23nBBmOhl/rJhMRT/bkaJ8rrDSrJ61/kMgabS6WMegAAAABJRU5ErkJggg==» />, будет число . Так, Дробной частью будет не , а .

    Так как отношение определено через равенство, то легко понять, что все свойства отношения эквивалентности для него выполняются. Каждый класс эквивалентности будет содержать числа с равными дробными частями. Это значит, что каждый класс эквивалентности по данному отношению однозначно определяет некоторое число из полуинтервала и, наоборот, каждому числу однозначно сопоставляется класс эквивалентности, состоящий из всех действительных чисел, дробная часть которых равна . Таким образом, фактор-множество и полуинтервал на числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии. Этот полуинтервал можно рассматривать как представление определенного выше фактор-множества.

    Связь между понятиями эквивалентности и отображения

    Установим теперь связь между понятиями эквивалентности и отображения. Заметим, что для любого отношения эквивалентности на множестве можно определить отображение , положив , т.е. сопоставив каждому содержащий его класс эквивалентности. Это отображение сюръективно, так как каждый элемент множества принадлежит некоторому классу эквивалентности, т.е. для каждого справедливо .

    Отображение определенное таким образом, называют канонической сюръекцией множества .

    Покажем, что любое отображение однозначно определяет некоторое отношение эквивалентности.

    Теорема 1.5. Пусть — произвольное отображение. Отношение на множестве , для которого , если и только если , является отношением эквивалентности, причем существует биекция фактор-множества на множество .

    Доказательство. Рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения следуют непосредственно из его определения, т.е. — эквивалентность.

    Зададим отображение фактор-множества в множество следующим образом: . Из способа задания отношения следует, что отображение определено корректно, т.е. каждому классу эквивалентности поставлен в соответствие единственный элемент .

    Докажем, что — биекция, для чего убедимся в том, что это инъекция и сюръекция одновременно. Пусть классы эквивалентности и не совпадают. В силу теоремы 1.4 это означает, что они не пересекаются, т.е. не эквивалентно . Из определения отношения следует, что . Таким образом, — инъекция. Если элемент , то найдется такой элемент , что , то есть — сюръекция фактор-множества на множество . Итак, — биекция.

    Следовательно, в силу доказанных теорем 1.4 и 1.5 существует связь между тремя понятиями — отображением множества, отношением эквивалентности на множестве и разбиением множества. Но неверно, что существует взаимно однозначное соответствие между отображениями и отношениями эквивалентности (заметим, что теорема 1.5 этого и не утверждает). Два разных отображения могут определять одно и то же разбиение отображаемого множества, тем самым задавая на нем одно и то же отношение эквивалентности. Так, например, любое биективное отображение задает на одно и то же разбиение — тривиальное разбиение на одноэлементные множества.

    Источник

    Показать больше

    Похожие статьи

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Закрыть
    Теорема: