ОТНОШЕНИЯ

Что такое отношение оснований трапеции и как ее найти

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Трапеция. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021)

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели!

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты! Будь уверен!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной ( или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции.

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \))

Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\). Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \). И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Снова порассуждаем об углах:

Опять \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) – параллельные, а диагональ \( \displaystyle AC\) – секущая. Поэтому \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

А теперь рассмотрим сразу 2 диагонали и 4 угла:

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\)

\( \displaystyle \angle 3=\angle 4\)

Что из этого может следовать?

Треугольники \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: \( \displaystyle K=\frac\).

Средняя линия трапеции

Для начала – что же такое средняя линия трапеции?

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:

\( \displaystyle m=\frac<2>\), то есть:

Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований.

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Трапеция, вписанная в окружность

Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:

Это закрытый контент

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Доказывать это мы не будем (здесь, во всяком случае), а вот запомнить хорошо бы – пригодится!

Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.

Так что, если у тебя в задаче трапеция, – используй параллельность и всё получится!

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Основные понятия и определения

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной ( или равнобокой).

Свойства трапеции

Первое свойство трапеции

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
(у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \))

Почему? \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) – параллельны, а \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) – секущие, поэтому:

Второе свойство трапеции

Треугольники \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) подобны по двум углам.
(\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3=\angle 4\) – как накрест лежащие)

Коэффициент подобия треугольников \( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\) равен отношению оснований:

Третье свойство трапеции

Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

А вот и само третье свойство трапеции:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!

Итак, проведём \( \displaystyle CE\parallel AB\). Тогда четырехугольник \( \displaystyle ABCE\) – параллелограмм.

Возьмём середину \( \displaystyle M\) стороны \( \displaystyle AB\) и середину \( \displaystyle K\) стороны \( \displaystyle CE\).

Оба: \( \displaystyle MBCK\) и \( \displaystyle AMKE\) – снова параллелограммы (\( \displaystyle MB\parallel CK\) и \( \displaystyle MB=CK\); \( \displaystyle AM\parallel KE\) и \( \displaystyle AM=KE\)).

Ну вот, значит \( \displaystyle MK\parallel AD\), да ещё \( \displaystyle MK=BC=a\).

Проведём \( \displaystyle KN\) – среднюю линию в \( \displaystyle \Delta ECD\).

Знаем, что \( \displaystyle KN\parallel ED\) и \( KN=\frac<1><2>ED\)

Что же из всего этого следует?

Четвертое свойство трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая.

Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:

\( \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) (трапеция же!)

\( \angle 3+\angle 2=180<>^\circ \) (вписанный четырехугольник)

\( \Rightarrow \angle 1=\angle 3\). Ну, и так же \( \angle 2=\angle 4\).

Пятое свойство трапеции

Это закрытый контент

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему

В любой трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой:

Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.

Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:

Если в каком-нибудь четырехугольнике какие-нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой, то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ.

Шестое свойство трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны.

\( \left\< \begin\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180<>^\circ \ -так\, как\, трапеция\\\angle 1=\angle 2\\\angle 3=\angle 4\ -так\, как\, биссектриса\end \right.\Rightarrow 2\cdot \angle 2+2\cdot \angle 3=180<>^\circ \Rightarrow \)

\( \angle 2+\angle 3=90<>^\circ \Rightarrow \angle AEB\ =90<>^\circ \)

Седьмое свойство трапеции

Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями \( FH=\frac<2>\)

Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!

Это закрытый контент

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему

Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.

Проведём \( \displaystyle BK\parallel AC\) и \( \displaystyle BL\parallel FH\).

Обозначим \( \displaystyle BC=\text< >a\); \( \displaystyle AD=b\).

Значит, \( BL=\frac<2>\) (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).

Но ведь \( \displaystyle FH=BL\) (так как \( \displaystyle BFHL\) — параллелограмм)\( \Rightarrow \) \( FH=\frac<2>\).

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон:

\( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны:

Свойства равнобедренной трапеции:

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle <_>=\frac<2>\cdot h\).

P.S. Последний бесценный совет ?

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

Источник

Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Закрыть