ОТНОШЕНИЯ

Что такое отношение порядка

Отношение порядка

Содержание

Определения [ править ]

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением частичного порядка (англ. partial order relation), если оно обладает следующими свойствами:

  • Рефлексивность (англ. reflexivity): [math]\forall a \in X: aRa[/math] .
  • Антисимметричность (англ. antisymmetry): [math]\forall a, b \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRa[/math] , то [math] a = b [/math] .
  • Транзитивность (англ. transitivity): [math]\forall a, b, c \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRc[/math] , то [math]aRc[/math] .

Множество [math]X[/math] , на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами:

  • Антирефлексивность (англ. irreflexivity): [math]\forall a \in X: aRa [/math] — не выполняется.
  • Антисимметричность (англ. antisymmetry): [math]\forall a, b \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRa[/math] , то [math] a = b [/math] .
  • Транзитивность: (англ. transitivity) [math]\forall a, b, c \in X:[/math] если [math]aRb[/math] и [math]bRc[/math] , то [math]aRc[/math] .
Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением линейного порядка (англ. total order relation), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall a \in X \forall b \in X[/math] либо [math]aRb[/math] , либо [math]bRa[/math] .

Множество [math]X[/math] , на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением полного порядка (англ. well-order relation), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: [math]\forall Y \subset X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb[/math] .

Множество [math]X[/math] , на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).

Отношение нестрогого порядка обозначают символом [math]\leqslant[/math] . Запись вида [math]a \leqslant b[/math] читают как « [math]a[/math] меньше либо равно [math]b[/math] ».

Отношение строгого порядка обозначают символом [math]\lt [/math] . Запись вида [math]a \lt b[/math] читают как « [math]a[/math] меньше [math]b[/math] ».

Источник

Отношение порядка

Отношение эквивалентности. Взаимосвязь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

Лекция № 12

Если рассмотреть на множестве натуральных чисел отношение равенства, то можно заметить, что оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Про такое отношение говорят, что оно является отношением эквивалентности.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения равенства на множестве дробей, равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых и т. д.

Рассмотрим отношение равенства дробей, заданное на множестве Х=<; ; ; ;;>. Видим, что множество разбилось на три подмножества: <,,>, <,>, <>. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества Х на классы, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Вообще, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве X, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Отношения эквивалентности являются базой для формирования новых понятий (например, геометрических фигур) и для классифицирующей деятельности.

Слово «порядок» часто употребляется в обыденной речи. Можно говорить о порядке слов в предложении, о порядке выполнения действий в примере и т. д. При этом в слово «порядок» вкладывается такой смысл: оно означает, какой элемент того или иного множества за каким следует (или какой элемент какому предшествует).

Таким образом, интуитивное понятие порядка между элементами некоторого множества связано с заданием на этом множестве отношения «х следует за у» (или «х предшествует у»).

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка (или отношением строгого порядка), если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.

Примерами отношений порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков, отношение «выше» на множестве людей, сравниваемых по росту.

Если отношение порядка обладает еще свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка.

Определение. Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».

Если отношение порядка, заданное на множестве Х, обладает свойством связанности, то оно линейно упорядочивает множество Х.

Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и с помощью отношения «кратно» – оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связанности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натуральных чисел линейно.

Наряду с отношениями строгого порядка в математике рассматривают отношения нестрогого порядка.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Например, отношения: «х £ у», «не выше» на множестве людей, сравниваемых по росту, «быть делителем» на множестве натуральных чисел.

Не все отношения делятся на отношения эквивалентности и порядка. Существует большое число отношений, не являющиеся ни отношением эквивалентности, ни отношением порядка.

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 1887 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Что такое отношение порядка

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Отношение порядка» в других словарях:

отношение порядка — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN ordering relation … Справочник технического переводчика

Отношение предпочтения — в теории потребления это формальное описание способности потребителя сравнивать (упорядочивать по желательности) разные наборы товаров (потребительские наборы). Чтобы описать отношение предпочтения, не обязательно измерять желательность… … Википедия

Отношение (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. Отношение математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов … Википедия

ОТНОШЕНИЕ — в логике то, что в отличие от свойства характеризует не отдельный предмет, а пару, тройку и т.д. предметов. Традиционная логика не рассматривала О.; в современной логике О. пропозициональная функция от двух или большего числа переменных. Бинарным … Философская энциклопедия

ПОРЯДКА ОТНОШЕНИЕ — бинарное (двуместное, двучленное) отношение, обладающее свойствами иррефлек сивности (см. Рефлексивность) и транзитивности (из чего следует также его антисимметричность, см. Симметричность). П. о. упорядочивает элементы множества, на к ром оно… … Философская энциклопедия

Отношение лишайников к субстрату и другим факторам внешней среды — Субстрат. Медленный рост слоевища не дает возможности лишайникам в более или менее благоприятных местообитаниях конкурировать с быстрорастущими цветковыми растениями или мхами. Поэтому обычно лишайники заселяют такие экологические ниши,… … Биологическая энциклопедия

отношение — 3.4 отношение IA/IN: Отношение начального пускового тока IА к номинальному току IN. Источник: ГОСТ Р 51330.8 99: Электрооборудование взрывозащищенное. Часть 7. Защита вида e … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Отношение к нанотехнологиям в обществе — Наношестерни молекулярного размера Нанотехнология междисциплинарная область фундаментальной и прикладной науки и техники, имеющая дело с совокупностью теоретического обоснования, практических методов исследования, анализа и синтеза, а также… … Википедия

Отношение к нанотехнологии в обществе — Наношестерни молекулярного размера Нанотехнология междисциплинарная область фундаментальной и прикладной науки и техники, имеющая дело с совокупностью теоретического обоснования, практических методов исследования, анализа и синтеза, а также… … Википедия

Отношение сигнала к помехе комбинационной частоты — 38. Отношение сигнала к помехе комбинационной частоты выраженное в децибелах отношение выходного уровня сигнала несущей к максимальному выходному уровню комбинационных помех в диапазоне рабочих частот и обозначаемое: IМАIII(К) для отношения… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Показать больше

Похожие статьи

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Закрыть