ОТНОШЕНИЯ

Является ли данное отношение отношением эквивалентности

Отношение эквивалентности

Определение:
Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется отношением эквивалентности (англ. equivalence binary relation), если оно обладает следующими свойствами:

  • Рефлексивность: [math]\forall x \in X: xRx[/math] .
  • Симметричность: [math]\forall x, y \in X:[/math] если [math]xRy[/math] , то [math]yRx[/math] .
  • Транзитивность: [math]\forall x, y, z \in X:[/math] если [math]xRy[/math] и [math]yRz[/math] , то [math]xRz[/math] .

Отношение эквивалентности обозначают символом [math]\thicksim[/math] . Запись вида [math]a \thicksim b[/math] читают как » [math]a[/math] эквивалентно [math]b[/math] «

Содержание

Примеры отношений эквивалентности [ править ]

  • Отношение равенства( [math]=[/math] ) является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве.
  • Отношение равенства по модулю [math]k[/math] : [math]a \equiv b \mod k [/math] на множестве целых чисел.
  • Отношение параллельности прямых на плоскости.
  • Отношение подобия фигур на плоскости.
  • Отношение равносильности на множестве уравнений.
  • Отношение связности вершин в графе.
  • Отношение быть одного роста на множестве людей.

Следующие отношения не являются отношениями эквивалентности:

  • Отношения порядка, так как они не являются симметричными.
  • Отношение быть знакомым на множестве людей, так как оно не транзитивное.

Классы эквивалентности [ править ]

Определение:
Система непустых подмножеств [math]\[/math] множества [math]M[/math] называется разбиением (англ. partition) данного множества, если:

  • [math]M = M_1 \cup M_2 \cup \ldots \cup M_n \cup \ldots[/math]
  • [math]M_i \cap M_j = \varnothing[/math] при [math]i \neq j[/math] .

Множества [math]M_1, M_2, \ldots, M_n, \ldots[/math] называются классами данного разбиения.

Примерами разбиений являются:

  • Разбиение многоугольников на группы по числу вершин.
  • Разбиение треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные).
  • Разбиение учащихся школы по классам.

Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое фактор-множеством, или факторизацией множества [math]M[/math] по отношению [math]\thicksim[/math] , и обозначаемое [math]M/^<\thicksim>[/math] .

Примеры [ править ]

  • Равенство — классический пример отношения эквивалентности на любом множестве, в т. ч. вещественных чисел
  • Равенство по модулю: [math] a \equiv b

m) [/math]

  • В Евклидовой геометрии:
    • отношение подобия [math] («\thicksim «) [/math]
    • отношение параллельности [math]\colon

    («\parallel «) [/math] отношение конгруэнтности [math]\colon

    («\cong «) [/math]

  • Разбиение многоугольников по количеству вершин
  • Отношение равносильности на множестве уравнений
  • Отношение равномощности множеств
  • Отношение принадлежать к одному виду на множестве животных
  • Отношение жить в одном городе на множестве людей
  • Источник

    MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

    Классы эквивалентных элементов и их свойства

    Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%a%% — некоторый элемент из %%M%%. Рассмотрим множество всех элементов из %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%.

    Классом эквивалентности %%M_a%%

    называется множество всех элементов %%M%%, находящихся в отношении %%R%% к элементу %%a%%, то есть множество

    Пример

    Пусть %%M%% — множество всех жителей России и %%R%% — отношение эквивалентности «проживать в одном городе». Найти классы эквивалентных элементов %%M_a%% для %%a \in M%%.

    Класс элементов, эквивалентных элементу %%a%%, имеет вид: $$ M_a = \ a\> $$

    В зависимости от элемента %%a%% получаем несколько классов эквивалентности. Например, класс эквивалентности жителей Москвы или Санкт-Петербурга.

    Свойства классов эквивалентности

    Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%% и %%M_a, M_b, \dotsc, M_z, \dotsc%% — все классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда эти классы имеют следующие свойства.

    Свойство 1

    Для любого элемента %%a \in M%% выполняется условие $$ a \in M_a $$

    Действительно, по определению, класс %%M_a = \

    a\>%%. Тогда для элемента %%a%% должно выполняться условие %%a \in M_a \leftrightarrow a

    a%%, которое выполняется в связи с тем, что отношение %%R%% рефлексивно по определению отношения эквивалентности. Следовательно, %%a \in M_a%%.

    Как следствие этого свойства можно сказать, что всякий класс %%M_a%% является непустым множеством.

    Свойство 2

    Пусть %%M_a%% и %%M_b%% классы эквивалентности для отношения %%R%%. Классы %%M_a%% и %%M_b%% равны тогда и только тогда, когда элемент %%a%% находится в отношении %%R%% к элементу %%b%%. $$ M_a = M_b \leftrightarrow a

    Свойство 3

    Пусть %%M_a%% и %%M_b%% классы эквивалентности для отношения %%R%%. Тогда классы %%M_a%% и %%M_b%% не имеют общих элементов. $$ M_a \neq M_b \rightarrow M_a \cap M_b = \varnothing $$

    Свойство 4

    Объединение всех классов эквивалентности множества %%M%% равно множеству %%M%%. $$ \bigcup_ = M. $$

    Разбиение множества

    Совокупностью подмножеств %%M_i%%, где %%i \in I%% (множеству индексов), множества %%M%% называется разбиением множества %%M%% если выполняются следующие условия:

    1. Каждое из подмножеств %%M_i%% непусто.
    2. Объединение всех подмножеств %%M_i%% равно множеству %%M%%.
    3. Два различных подмножества %%M_i%% и %%M_j%%, где %%i \neq j%%, не имеют общих элементов.

    Теорема. Пусть %%R%% — отношение эквивалентности на множестве %%M%%. Тогда совокупность классов эквивалентности множества %%M%% образует его разбиение.

    Действительно, если в качестве подмножеств %%M_i%% взять классы эквивалентности %%M_a%%, то все три условия выполняются:

    1. Каждый класс эквивалентности является непустым множеством, согласно свойству 1.
    2. Объединение всех классов эквивалентности есть множество %%M%%, согласно свойству 4.
    3. Два различных класса эквивалентности не имеют общих элементов, согласно свойству 3.

    Все условия определения разбиения выполнены. Следовательно классы эквивалентности есть разбиение множества %%M%%.

    Примеры

    Пусть дано множество %%M = \<1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 \>%%, тогда разбиением этого множества могут быть следующие совокупности множеств:

    Но следующие совокупности не являются разбиением:

    Совокупность множеств %%C_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 3 разбиения множеств: множества %%C_1%% и %%C_3%% имеют общий элемент %%3%%.

    Совокупность множеств %%D_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 1 разбиения множеств: множество %%D_4%% пусто.

    Совокупность множеств %%E_i%% не является разбиением, т.к. оно не удовлетворяет условию 2 разбиения множеств: объединение множеств %%E_1, E_2%% и %%E_3%% не образует множество %%M%%.

    Источник

    Является ли следующее отношение отношением эквивалентности

    Приветствую,

    Является ли следующее отношение отношением эквивалентности:

    «Отношение равночисленности, то есть иметь одинаковое число элементов, в системе конечных множеств»

    Знаю. что нужно проверить на:

    • рефлексивно,
    • симметрично,
    • транзитивно

    Однако как это сделать, если так задана задачка — не знаю — прошу помощи —

    Показать, что отношение является отношением эквивалентности
    Показать,что отношение xRy:”x и y содержат одинаковые число элементов» является отношением.

    Доказать, что бинарное отношение R на множестве А является отношением эквивалентности
    Доказать, что бинарное отношение R на множестве А является отношением эквивалентности. Построить.

    Является ли отношение «больше или равно» отношением эквивалентности?
    Здравствуйте, нужна помощь по заданию: Является ли отношение больше или равно (≥) отношением.

    Откуда взять множество A,B,C

    Добавлено через 1 минуту
    angor6,

    То есть если у нас одинаковое число элементов в одном множестве и одинаковое число элементов в другом множестве — то да — пункт второй соблюдается — но правильно ли я мыслю?
    Как и третий причем

    Опишите — как вы мыслите — желательно

    Предположить, что они существуют.

    По поводу этого пункта

    Если отношение А имеет два элемента, отношение Б имеет тоже два элемента, то да — отношение А по численности равно отношению C — правильно мыслю?

    Добавлено через 52 секунды

    В данном случае или вообще?

    angor6, согласен, зря я начал. Просто проверка рефлексивности иногда действительно выглядит тривиально, и в этом конкретном случае я бы её не проводил.

    Теорема:
    13.01.2020, 23:16 Является ли следующее отношение отношением эквивалентности

    DrType, я предполагаю, что в данном случае нужно как можно проще установить выполнение трёх свойств, позволяющих утверждать, что рассматриваемое отношение является отношением эквивалентности. Не нужно ни отвлекаться на другие отношения, как это предложил iifat, ни рассматривать логические связи между свойствами, как это предлагаете Вы, тем более, что в общем случае из симметричности и транзитивности бинарного отношения не следует его рефлексивность. Прошу извинить, если ненароком обидел кого-то.

    Показать, что отношение является отношением порядка
    Не особо получается разобраться с заданием: Показать, что отношение xRy: “x есть подмножество y”.

    Является ли заданное отношение отношением эквивалентности?
    Исследуйте, является ли заданное на множестве _ <11>(множество всех целых чисел, кратных 11).

    Установите, является ли заданное отношение R на А отношением эквивалентности
    Для каждого отношения эквивалентности постройте классы эквивалентности. А – множество.

    Докажите, что отношение является отношением эквивалентности.
    Народ помогите с гиперзамудренной задачей — уж больно сложная или моих базовых знаний пока не.

    Источник

    [njwa_button id="1161"]
    Показать больше

    Похожие статьи

    >
    Закрыть
    Adblock
    detector